のとき漸化式で得られる数列は、 #include <stdio.h> int main(void) { int i; double an = 2; for (i = 1; i < 20;i ++) { printf("%2d: %f\n", i, an); an = (2 * an + 1) / (an + 1); } printf("%02d: %f\n", i, an); return 0; } 1: 2.000000 2: 1.666667 3: 1.62</stdio.h>…

九つのマスそれぞれが何も置かれていない、先手番が置いた、後手番が置いたの三状態を取りうる。 したがって、三目並べの盤面は多くとも種類以下である。 この中には全部が先手番で埋め尽くされているといった三目並べとしてはありえないものも含まれるので、…

アキレスと亀。 アキレスが亀に追いつく直前までの有限の時間を無限個に分割して、 その中の全ての時間でアキレスよりも亀が先に進んでいるから、 アキレスは亀に《永遠》に追いつけないというように、 回数を時間の長さそのものであるかのようにすりかえる…

二つの日付を重複を許して適当に選んだときに、 その二つが一致する確率はであって、 ではない。 これが適当に選ばれたふたりの誕生日が同じ日になる確率である。

ふたつめの誤答がもし正しいならば、 は導関数と元の関数の比がになる関数のひとつである。 微分方程式を解くと、を任意の実定数として、 なので、を任意の実定数として、 これはにはなれないので誤答であると分かる。 導関数と元の関数の比がになるのが正答…

ひとつめの誤答がもし正しければ、 は導関数が元の関数に等しいような関数の集合の元であることを意味する。 実際に微分方程式を解くと、を任意の実定数としてとなる。 この関数の集合にはは属しようがないので誤答であると分かる。

よく知られている導関数の公式を使って、 は間違い。 この公式におけるは定数なので、これは誤適用である。 公式を使って、 もご同様である。

の関数の導関数を求める。

文句ない晴天の十五夜お月さん。 昨年この辺りは天気が悪かったが今年はきれいに見えた。 明日はちょっとだけ欠けた十六夜だが、 その欠ける速度は満月直後の今は下弦の頃よりもずっと遅い*1。 月の欠けた部分と光っている部分の境界は月における昼と夜の境…

ある自然数について、 が成り立つなら、両辺にを掛けて右辺を展開すると、 ここで、 したがって、 が成り立つ。 そして、のとき、 であるので、任意の自然数について成り立つ。

財布という存在を無くす確率を、個の財布それぞれに円入っているとする。 円が全財布に入っている総計である。 個のうち個を落とす組み合わせの集合をとする。 たとえばならばとなる。 に含まれる各組み合わせの発生確率はどれもであるので、 ダメージの期待…

もう少し一般化するなら個の財布それぞれに円を入れることになるだろう。 これまでの話からもう結果は見えているが、分割しようがすまいが無くす確率が同じという前提であれば、 ダメージの期待値はどういう分割であっても、またがいくつであっても同じにな…

財布を落とす確率がのとき個の財布に分割すると、 少なくともひとつの財布を落とす確率は、 したがってこれとpとの比はのときに近づいていく。

三つに均等に分散したときのダメージの期待値は分散する前と同じであった。 では三つの財布に入っている額が異なる場合はどうだろう。 少額財布によるダメージは小さくなっても多額財布によるダメージは大きくなるから、 直感的には、落とす確率が額と無関係…

三つに分散しても確率は三倍よりは小さかった。 では神谷さんの目論見通り分散して持っていたほうがダメージは少しくらいは小さくなるのだろうか？ ひとつの財布を落とす確率をとして、 有り金円をひとまとめで持っていたときと分散したときそれぞれのダメー…

テレビで波打ち際のむろみさんを見ていると小箱とたんのスケッチブックを読みたくなる。 読み返していると第三巻p.110の神谷さんと根岸くんの会話が気にかかった。 財布を三つ用意して有り金を三等分して持ち歩けば、 財布を落としたときのダメージが三分の…

正直爺さんと意地悪爺さんが雀のお宿でお土産をもらう段となった。 二人の前に三つの葛篭が用意される。 二人は知らなかったが宝物が入っているのはその中の一つだけだ。 疑り深い意地悪爺さんは雀がよからぬことを企んでいるかもと思い正直爺さんの行動を待…

正直爺さんと意地悪爺さんが雀のお宿でお土産をもらう段となった。 二人の前に三つの葛篭が用意される。 二人は知らなかったが宝物が入っているのはその中の一つだけだ。 欲深い意地悪爺さんは我先にとひとつの葛篭を選び、 正直爺さんは残った二つから一つ…

先述したように、初項、公差の全項が素数の等差数列について、 この数列の項数はどのようなに対しても以下となる。 ゆえに、が素数であるならば、この数列の項数は以下となる。 したがって、が素数であるような数列の項数はになることはない。

先行する亀に有限時間内に追いつけない兎。

表題の数列の初項を、公差をとすると、 一般項はであるのでである。 つまり、ならば初項から数えて番目のは合成数となる。 したがって、表題の数列の項数は以下である。

2以外の素数は奇数であるので表題のような等差数列の公差は奇数となる。 2にそのような公差を2回加えると偶数になる。 したがって表題のような数列の項数は2以下である。 等差数列が等差数列として意味を持つためには少なくとも項数が3必要かもしれず、 その…

□に入るのは11。 この数列は1と奇素数の列だ。9以外の奇数の列だったらさらに先が異なってくる。 人は規則性のある数字の並びに神秘性や面白みや美を感じるようだが、 それは文化と個人の趣向とに左右されるもので、 どういう規則に沿えばそうであるのかにつ…

一試行当たり最大三回振ることができる場合、 得点はであり、が得られる確率は、 であるので、一試行の得点の期待値は、 となる。前回の結果はこれに近い。

念のため。 の第項までの部分和をとすると、 両辺を倍すると、 両辺をそれぞれ引くと、 ゆえに、 右辺第二項はで0に収束し、右辺第三項は公比の等比数列の部分和であるので、 すなわち、

得られる点数の期待値は、 よく知られた公式、もしくはさらによく知られた公式から導かれるように、 であるので、 これは収束し、 となる。 一回だけ加算できる場合の期待値である約2.92と大きくは変わらない。

さらに、六の目が出続ける限りダイスをもう一回振ることができることとする。 六の目が出続ければいつまでも終わらないが、 さらに振ることができる確率は振る回数が増えるほど指数関数的に小さくなっていく。 六の目が回続けて出る確率はである。 したがっ…

六の目が出たら、もう一度ダイスを振ることができ、 その時出た目に応じた点数を一回目の点数に加えることができるならば、 点数が得られる確率と点数の期待値は、

六面体ダイス一個を一回振り、出た目から一を引いただけの点数を得るとき、 点数が得られる確率と点数の期待値は、

赤玉1個、白玉2個に対して3回操作を行った時に赤玉は平均何回出ると期待できるだろうか。 つまり1回である。 これは二項分布の平均値を求めるのと同じであり、 その値は1回当たりの赤玉が出る確率と操作回数の積であり、 で簡単に計算できる。