円と曲線の交点 #5

FORTRAN

y=x \tan x - \sqrt{1-x^2}の導関数はy'=\tan x + \frac{x}{\cos^2 x} + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}なので、
x=0のときy'=0となり、ニュートン・ラフソン法においてはx=0は初期値として不適である。
ところが2階中心差分による微分係数ではh \ne 0でy' \ne 0であり、
誤って不適切なパラメータが与えられると初期値x=0でも不幸にも正しい解に収束してしまったりする。

      PARAMETER(E=1.0D-12,H=1.0D-8,X0=0.0)

このパラメータで求めると、繰り返しごとのxの値は、

 X=  0.
 X=  0.900719925
 X=  0.874361519
 X=  0.846321777
...snip
 X=  0.739085133

のように偶然にも定義域の中を推移して正しい解に収束してしまう。
差分の幅を小さくすれば解析的に正しい結果として収束しない。