連立一階常微分方程式のEuler法による数値解析

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\begin{document}

\subsection*{連立一階常微分方程式をEuler法で解く}

$m$を$1 \le m \le M$の整数とし、
$M$個の変数$x_m$が$t$を独立変数とする関数であるとする。
これらが以下の微分方程式を満たすとする。
\[
\frac{{\mathrm d}x_m}{{\mathrm d}t} = f_m(t,{\mathbf x})
\]
ここで、$x_m$の対を${\mathbf x} = (x_1,\ldots,x_M)$とする。
また、$f_m$は$t$と${\mathbf x}$の関数、つまりは$t$のみの関数である。
$t=t_0$での初期値$x_m(t_0)=x_{m,0}$が与えられた時、
上の微分方程式を満たす$x_m$をEuler法で求める。

$|h| \ll 1$であるような$h$を使い次のように定義する。
\begin{eqnarray*}
t_n &=& t_0 + nh \\
x_{m,n} &=& x_m(t_n) \\
{\mathbf x}_n &=& (x_1(t_n),\ldots,x_M(t_n))
\end{eqnarray*}

Euler法により上の微分方程式は、$n$を整数として離散化することで、
\[
x_{m,n+1} = x_{m,n} + hf_m(t_n,{\mathbf x}_n)
\]
のように差分方程式として近似できる。
これは解くことができ、
\[
x_{m,n} = x_{m,0} + h \sum_{i=0}^{n-1} f_m(t_i,{\mathbf x}_i)\ \ (n \ge 1)
\]
がその解となる。

\end{document}