落体の運動とRK4

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\begin{document}

\subsection*{落体の運動方程式をRK4で解く}

先述の落体の運動方程式をEuler法の替わりにRK4で解いてみる。
落下距離と落下速度の連立微分方程式はRK4では、
\begin{eqnarray*}
y_{n+1} &=& y_n + \frac{h}{6}\left\{v_n+2\left(v_n+\frac{h}{2}g\right)+2\left(v_n+\frac{h}{2}g\right)+(v_n+hg)\right\} \\
        &=& y_n + hv_n + \frac{1}{2}h^2g \\
v_{n+1} &=& v_n + \frac{h}{6}(g+2g+2g+g) = v_n + hg
\end{eqnarray*}
のような差分方程式で近似できる。

これを解くと、$n \ge 1$で、
\[
v_n = v_0 + nhg
\]
であり、これを$y_n$に関する差分方程式に代入すると、
\begin{eqnarray*}
y_{n+1} &=& y_n + h(v_0 + nhg) + \frac{1}{2}h^2g \\
        &=& y_n + nh^2g + (hv_0 + \frac{1}{2}h^2g)
\end{eqnarray*}
となる。したがって、$nh = t_n - t_0$であることに注意して、これを解くと、
\begin{eqnarray*}
y_n &=& y_0 + \frac{n(n-1)}{2}h^2g + n(hv_0 + \frac{1}{2}h^2g) \\
    &=& y_0 + nhv_0 + \frac{1}{2}nh^2g\{(n-1)+1\} \\
    &=& y_0 + v_0nh + \frac{1}{2}g(nh)^2 \\
    &=& y_0 + v_0(t_n - t_0) + \frac{1}{2}g(t_n - t_0)^2
\end{eqnarray*}
である。また、
\[
v_n = v_0 + g(t_n - t_0)
\]
である。

すなわち、これは元の運動方程式を解いて得られる解に等しくなる。
したがって、落体の運動方程式のRK4による数値解析では
微分方程式を差分方程式で近似したことによる誤差は無いことになる。

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