サイコロ #3

math

さらに、六の目が出続ける限りダイスをもう一回振ることができることとする。
六の目が出続ければいつまでも終わらないが、
さらに振ることができる確率は振る回数が増えるほど指数関数的に小さくなっていく。
六の目がn回続けて出る確率は6^{-n}である。
したがって、点数xが得られる確率p(x)は、
p(x)=\begin{cases}6^{-n}\text{ (}5(n-1)\le x\le 5n-1\text{, }x\in Z\text{, }n\in N\text{)}\\0\text{ (otherwise)}\end{cases}
と書ける。
確率変数xの範囲は非負整数全体であり、
\sum_{x=-\infty}^{\infty}p(x)=\sum_{x=0}^{\infty}p(x)=\sum_{n=1}^{\infty}5\cdot 6^{-n}=5\cdot\frac{6^{-1}}{1-6^{-1}}=1
にきちんとなる。