いちおう導出過程 - 借りてきた猫のように静か

財布という存在を無くす確率を $p$ 、 $N$ 個の財布それぞれに $A_1,\ldots,A_N$ 円入っているとする。
$A=\sum_{i=1}^NA_i$ 円が全財布に入っている総計である。
$N$ 個のうち $n$ 個を落とす組み合わせの集合を $S_n$ とする。
たとえば $N=3$ ならば $S_2=\left\{\left\{A_1,A_2\right\},\left\{A_2,A_3\right\},\left\{A_3,A_1\right\}\right\}$ となる。
$S_n$ に含まれる各組み合わせの発生確率はどれも $\left(1-p\right)^{N-n}p^n$ であるので、
ダメージの期待値 $E$ は、
$E=\left(1-p\right)^N\cdot 0+\sum_{n=1}^N\left(1-p\right)^{N-n}p^n\sum_{s\in S_n}\sum_{A_i\in s}A_i$
さて、 $n$ 個のうち $A_1$ の財布が含まれる組み合わせの数は、
$A_1$ を除いた残り $N-1$ 個から $n-1$ 個を選ぶ組み合わせの数 ${N-1\choose n-1}$ である。
$A_1$ を他の財布にしても同じ議論ができるので、
$S_n$ に含まれる組み合わせに含まれる各財布の数はどれも ${N-1\choose n-1}$ 個になる。
たとえば $N=3,n=2$ ならば $A_1$ の数は ${3-1\choose 2-1}=2$ 個であることが上で例示した $S_2$ で確認できる。
また、 $A_2$ も $A_3$ も同数の2個である。
したがって、 $\sum_{s\in S_n}\sum_{A_i\in s}A_i={N-1\choose n-1}\sum_{i=1}^NA_i={N-1\choose n-1}A$ である。
よって、
$E=\sum_{n=1}^N\left(1-p\right)^{N-n}p^n{N-1\choose n-1}A=pA\sum_{n=1}^N{N-1\choose n-1}\left(1-p\right)^{N-n}p^{n-1}$
ここで、 $n'=n-1,N'=N-1$ と定義すると、
$E=pA\sum_{n'=0}^{N'}{N'\choose n'}\left(1-p\right)^{N'-n'}p^{n'}$
総和で表されている因子は二項定理から、
$\sum_{n'=0}^{N'}{N'\choose n'}\left(1-p\right)^{N'-n'}p^{n'}=\left\{\left(1-p\right)+p\right\}^{N'}=1^{N'}=1$
なので、
$E=pA$
となり $p$ と $A$ のみでダメージの期待値が決まる。