均等でなくても

三つに均等に分散したときのダメージの期待値は分散する前と同じであった。
では三つの財布に入っている額が異なる場合はどうだろう。
少額財布によるダメージは小さくなっても多額財布によるダメージは大きくなるから、
直感的には、落とす確率が額と無関係であるなら均されてダメージの期待値は変わらないだろう。

三つの財布に入っている額をそれぞれ、、円とする。
どれか一つのみを落とす場合は、、のそれぞれを落とす三通りあり、
その三通りともに事象が発生する確率はである。
ちょうど二つ落とす場合はと、と、との三通りがあり、
その三通りとも発生確率はである。
したがってダメージの期待値は、

で求められる。
定義からである。
したがって上式第二項から第四項まではそれぞれ、、とそれぞれの確率関連の因子との積となり、
これは、均等に分散した場合の期待値と全く同じ式であり結局ダメージの期待値はになる。
つまり均等に分散しても不均一に分散しても直感通りダメージの期待値は変わらない。
分散額を極端にして、としても期待値は変わらない。
有り金を分けることなく一つの財布に入れ、
これとは別に二つの空の財布と一緒に持ち歩いてもダメージは変わらないという当然に思われる結果と無関係ではない。