惜しい間違いの場合

math

ふたつめの誤答がもし正しいならば、
y(x)=x^xは導関数と元の関数の比が\log xになる関数のひとつである。
微分方程式y^{-1}y'=\log xを解くと、Cを任意の実定数として、
\int\log xdx=\int\left(x\right)'\log xdx=x\log x-\int x\left(\log x\right)'dx=x\log x-x+C
なので、C'を任意の実定数として、
y=C'\exp\left(x\log x-x\right)=C'x^xe^{-x}
これはx^xにはなれないので誤答であると分かる。
導関数と元の関数の比が\log x+1になるのが正答なので、
ふたつめの誤答は惜しいのだが、
誤答が属する関数はy(x)=x^xとは結構違うものとなっている。