では、3回の操作で1回くらいは赤玉が出るという確率を三分の一にするには、 赤玉と白玉の割合をどのようにすればいいだろう。 もちろん3回の操作で3回とも赤玉が出ても構わない。 この場合、設定すべき1回の操作で赤玉が出る確率は、 つまり、赤玉1個、白玉7…

赤玉1個、白玉2個の入った袋から玉を1個取り出し色を確認したのち袋に戻す操作を3回繰り返す。 赤玉が少なくとも1回は出る確率は、 70%の確率で赤玉を得ることができる。

現在二種類のアイテムそれぞれの獲得数は18個*1と27個である。 獲得確率が等しいとすれば、獲得数差が7個以内となるような確率は、 であり、これの余事象が起こることが稀であるというほどではまだない。この値を非効率的に求めるにはJavaなら次のようなコー…

本当は太陽と地球の共通接線で考えるべきという追記をわざわざしたが、 であり、 なので、結局、 となり、本影の円錐の頂点と地球中心との距離は以前に示したものと同じになる。

月食は地球の影に月が入る現象だが、この影はどのくらいの大きさだろう。 太陽光線が平行であれば影の大きさは地球の大きさを底面とする円柱となるが実際は少しだけ複雑になる。 月食時の太陽、地球、月の位置関係をざっくり*1示すと、 太陽の直径をD、地球…

2種類のアイテムの獲得数がそれぞれx個、y個とする。 両者が等確率で得られると仮定すると、 獲得数の期待値はともにであるのでそのカイ二乗値は、 そのカイ二乗値での自由度1のカイ二乗分布の上側累積確率 をx-y平面上にgnuplotでプロットする。 set termin…

アイテム獲得数がそれぞれ15個と24個になった。 自由度1のカイ二乗分布のでの上側累積確率は0.149542である。 まだ等確率であることを否定できないが、15個の方のアイテムが欲しいので気になる。 このまま24個の方ばかりが得られ続けた場合、 での上側累積確…

自由度のカイ二乗分布の累積分布関数は、 ここで、 はそれぞれガンマ関数、不完全ガンマ関数。 自由度1の場合、 より、 ここで、はガウスの誤差関数。 自由度1のカイ二乗分布の上側累積確率は、 で計算できる。 C99には誤差関数が導入されているため、これを…

カイ二乗値を算出して適合性検定を行う。 アイテムがそれぞれ15個と23個得られている。 「どちらのアイテムが得られるか、その確率に差は無い」という帰無仮説を立てる。 この値での自由度1のカイ二乗分布の上側累積確率は0.194366である。 有意水準としてよ…

実はセカンドPCではそれぞれ19個と18個のアイテムが得られているので、 こちらだけなら等確率という話は十分信用できるのだが。 等確率を仮定したときに37回のイベントで個数差が1個よりも大きくなる確率は、

とあるMMORPGにおいて数週間に数回の頻度でイベント的に1回に1個どちらかが得られる2種類のアイテムがある。 アイテムのどちらが得られるかは半々の確率だとの話がある。 今までに2種類のアイテムをそれぞれ15個と23個得た。 半々の確率だという話は本当なの…

完全なコインを100回投げて表が出る回数と裏が出る回数の差が以内になる確率は、 また、は、表と裏の回数の差がを超える確率とする。 /**/ 0 0.079589 0.920411 1 0.235647 0.764353 2 0.382701 0.617299 3 0.515882 0.484118 4 0.631798 0.368202 5 0.72874…

完全なコインを100回投げて表が50回出る確率は、

2のべき乗の値を持つノードについて無駄にややこしく証明しているけれど、 2の6を法とする剰余は2であることは自明なので、これは非合流ノードであり、 操作を遡れば剰余は4であり、これは合流ノードになり、 さらに半分にする操作の方を遡れば剰余は2であり…

ある値から操作前の値へと遡ることを考える。 その値の6を法とする剰余が4になるとき、 その値を2倍した値と1を引いて3で割った値の二つは共に操作前の値である。 つまり6を法とする剰余が4になる値のノードは二つの値のノードからの合流ノードとなる。 また…

前項の補足。カテゴリー的にはmathsというよりphysicsだとは思うが。 \documentclass{jsarticle} \begin{document} \subsection*{万有引力下の物体の運動方程式} 質量$M$の物体との間に働く万有引力を受けて運動する質量$m$の物体について考える。 $m \ll M$…

\documentclass{jsarticle} \begin{document} \subsection*{落体の運動方程式をRK4で解く} 先述の落体の運動方程式をEuler法の替わりにRK4で解いてみる。 落下距離と落下速度の連立微分方程式はRK4では、 \begin{eqnarray*} y_{n+1} &=& y_n + \frac{h}{6}\l…

\documentclass{jsarticle} \begin{document} \subsection*{落体の運動方程式をEuler法で解く} 鉛直下方向を鉛直方向の位置の変数$y$の正の方向とする。 時刻$t_0$で位置$y_0$、速度$v_0$であるような自由落下する質点の運動方程式は、 \[ m\frac{\mathrm{d}…

\documentclass{jsarticle} \begin{document} \subsection*{連立一階常微分方程式をEuler法で解く} $m$を$1 \le m \le M$の整数とし、 $M$個の変数$x_m$が$t$を独立変数とする関数であるとする。 これらが以下の微分方程式を満たすとする。 \[ \frac{{\mathr…

前掲のフローチャートを素直に実装してみる。 import java.math.BigInteger; import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class BaseTrans { private static class IncrementalList<E> extends ArrayList<E> { /** * リストの指定された位置にある</e></e>…

\documentclass{jsarticle} \begin{document} \section*{位取り記数法の基数変換の一方法} $A$、$B$をそれぞれ1以上の整数とする。 ある非負整数が$M$桁の$A$進数で表記されているとき、 これを$B$進数で表記し直した場合の桁数$N$と各桁の値を求める。 $m$…

\documentclass{jsarticle} \begin{document} \section*{自然数の10進数表記から256進数表記への変換の一方法} ある自然数$x$を256進数で表記すると$N$桁になるとする。 この256進数表記での$256^n$の桁を$b_n$とする。 つまり、 \[ x = \sum_{n=0}^{N-1} 25…

\documentclass{jsarticle} \begin{document} \section*{10進数表記でn桁の自然数は256進数表記で何桁？} 自然数$m$の256進数表記での桁数$d$は、 \[ d = \lfloor \log_{256} m \rfloor + 1 \] である。$m$が10進数表記で$n$桁のとき、 \[ 10^{n-1} \le m < …

\documentclass{jsarticle} \begin{document} \section*{平方根の2進数表記を得る開平} 正の実数$x$の正の平方根$\sqrt{x}$を2進数で表記した時、 第$i$位、つまり$2^i$の桁の値を$b_i$とする。 すなわち、 \begin{eqnarray*} \sqrt{x} = \sum_{i \in \mathb…

\documentclass{jsarticle} \begin{document} \section*{2進数表現の有限桁小数は10進数表現でも有限桁で表すことができる} $2^{-m} \ (m \in \mathbf{N})$に$10^m$を乗ずると、 $2^{-m} 10^m = 2^{-m} (2^m 5^m) = 5^m \in \mathbf{N}$であるので、 $2^{-m}…